भूमितीय रचना

          

H  या बिंदुपासून  निघणारा आणि AB  या रेषाखंडाला स्पर्श करून F  बिंदू पर्यंत पोहचणारा सर्वात कमी लांबीचा मार्ग  आपल्याला काढायचा आहे.

यासाठी F  बिंदुपासून एक (Perpendicular) लंब  टाकून FD= DK  अशाप्रकारे  FDK  रेषाखंड काढा. HK रेषाखंड जोडा.

HP+PF हा मार्ग सर्वात कमी लांबीचा मार्गे आहे. हे आता आपण सिद्ध करूयात.   

१) FD = DK   (भूमितीय रचना)

२) ˂FDP = ˂PDK ( भूमितीय रचनेनुसार काटकोन)

३) PD = PD (सारखी रेषा)

क्र. १,२, व ३ नुसार ∆ FPD  आणि  ∆ KPD  हे एकरूप होतात.

त्यामुळे PF = PK (एकरूप कोनांच्या बाजू) ----------------------------------i)

आता दुसरी एक एकरूप त्रिकोणांची जोडी शोधूया

१) FD = DK   (भूमितीय रचना)

२) ˂FDP = ˂PDK ( भूमितीय रचनेनुसार काटकोन)

३) QD = QD (सारखी रेषा)

क्र. १,२, व ३ नुसार ∆ FQD  आणि  ∆ KQD  हे एकरूप होतात.

त्यामुळे QF = QK  (एकरूप कोनांच्या बाजू) -----------------------------ii)

आता HQ +  QF  हा मार्ग HP+PF ह्या मार्गापेक्षा मोठा आहे हे आपण सिद्ध करूयात.

HQ+QF = HQ+QK -------- क्रमांक ii ) नुसार

HQ+QK > HK ------ (त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची बेरीज तिसऱ्या बाजूपेक्षा मोठी असते)

HQ+QK >HP+PK ----(आकृतीनुसार)

HQ+QK > HP+ PF ------------ क्रमांक i) नुसार

यावरून सिद्ध होते कि HP+ PF हा मार्ग सर्वात कमी लांबीचा मार्ग आहे. कोणताही बिंदू Q  घेऊन काढलेला मार्ग हा HP+ PF मार्गापेक्षा कमी लांबीचा असतो.

======================================================

रचना: कुठल्याही प्रकारच्या त्रिकोणामध्ये समभूज त्रिकोण समाविष्ट करणे

कृती : कुठल्याही त्रिकोणामध्ये समभूज त्रिकोण समाविष्ट करताना सर्वप्रथम सलगच्या दोन बाजूंवर दोन बिंदू पक्के करा. (F' , D') त्या बिंदुना समभूज त्रिकोणाचे दोन शिरोबिंदू मानून एक समभूज त्रिकोण (D'E'F') काढा.  आता Projector पद्धतीने त्रिकोणामध्ये समाविष्ट होणारा त्रिकोण आपल्याला मिळू शकतो. BE' रेषा जोडून ती पुढे वाढवून समजा AC रेषाखंडास E बिंदूमध्ये छेदते. E बिंदुपासून E'D' बाजूस समांतर रेषा काढा तसेच E'F' बाजूस दुसरी समांतर रेषा काढा. ह्या रेषा AB आणि BC बाजूस समजा प्रत्येकी D आणि F बिंदूमध्ये छेदतात. अशाप्रकारे जो ∆EFD आपणास मिळतो तो ∆ABC मध्ये समाविष्ट होणारा समभूज त्रिकोण असतो. ह्या पद्धतीने अगणित समभूज त्रिकोण कोणत्याही त्रिकोणामध्ये समाविष्ट करता येतात.

आता ∆EFD हा समभूज त्रिकोण आहे हे आपण सिद्ध करू.

˂BE'D' =  ˂BED  (संगत कोन - Corresponding Angles) --------------------i)

˂BD'E' = ˂BDE   (संगत कोन - Corresponding Angles)

कोको कसोटीनुसार ∆BD'E'  आणि ∆BDE हे समरूप आहेत.

दुसरी समरूप त्रिकोणांची जोडी शोधूया.

˂BE'F' =  ˂BEF  (संगत कोन - Corresponding Angles)--------------------------------ii)

˂BF'E' = ˂BFE   (संगत कोन - Corresponding Angles)

समरूप त्रिकोणाच्या कसोटीनुसार -----

BE'/BE = D'E'/DE = E'F''/EF --------------------------१)

D'E' =E'F' (समभूज त्रिकोणाच्या बाजू) ----------------२)

क्रमांक १ व २ नुसार DE = EF ---------------------------------A)

˂BED+˂FEB = ˂FED

˂BE'D' +BE'F' = ˂FED   ---------------------------क्रमांक i व ii नुसार

˂F'E'D' = ˂FED =  60̊    ------------------------------आकृतीनुसार ------------B)

क्रमांक A व B नुसार आपण म्हणू शकतो कि ∆EFD हा समभूज त्रिकोण आहे.

======================================================

रचना: एका वर्तुळावरून दुसऱ्या वर्तुळाला स्पर्शीका (Direct )  काढणे.

कृती: M₂ केंद्र बिंदु मानून R₂ - R₁ त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. M₁ बिंदुपासून ह्या वर्तुळाला स्पर्शीका काढा. समजा ही स्पर्शीका ह्या वर्तुळाला K बिंदूमध्ये स्पर्श करते. M₂K रेषा पुढे वाढवून A₂ बिंदूमध्ये मोठ्या वर्तुळाला छेदते. M₁A₁  ही M₂A₂ रेषेला समांतर रेषा काढा. A₁A₂ रेषा ही दोन्ही वर्तुळाना स्पर्श  करणारी Direct Tangent आहे.

आता आपण ह्या Direct Tangent ची लांबी शोधून काढूया.

∆M₁M₂K हा काटकोन त्रिकोण आहे

M₁M₂² = M₁K ² + KM₂²  (पायथागोरस चे प्रमेय)

M₁K ²  =  M₁M₂² - KM₂²

M₁K  = √(d² - (R₂ - R₁)²)  ----(d - दोन वर्तुळांच्या केंद्र बिन्दुमधील अंतर)

M₁A₁ A₂K  हा आयात आहे. त्यामुळे M₁K = A₁ A₂

त्यामुळे Direct Tangent ची लांबी = A₁ A₂ = √(d² - (R₂ - R₁)²)

रचना: एका वर्तुळावरून दुसऱ्या वर्तुळाला स्पर्शीका (Transverse )  काढणे.

कृती: M₂ केंद्र बिंदु मानून R₂ + R₁ त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. M₁ बिंदुपासून ह्या वर्तुळाला Transverse स्पर्शीका काढा. समजा ही स्पर्शीका ह्या वर्तुळाला K बिंदूमध्ये स्पर्श करते. M₂K  रेषा जोडल्यास हि रेषा मोठ्या वर्तुळाला A₂ बिंदू मध्ये छेदते. M₁A₁  ही M₂A₂ रेषेला समांतर रेषा काढा. A₁A₂ रेषा ही दोन्ही वर्तुळाना स्पर्श  करणारी Transverse Tangent आहे. आता आपण ह्या Transverse Tangent ची लांबी शोधून काढूया.

∆M₁M₂K हा काटकोन त्रिकोण आहे

M₁M₂² = M₁K ² + KM₂²  (पायथागोरस चे प्रमेय)

M₁K ²  =  M₁M₂² - KM₂²

M₁K  = √(d² - (R₂ + R₁)²)  ----(d - दोन वर्तुळांच्या केंद्र बिन्दुमधील अंतर)

M₁A₁ A₂K  हा आयात आहे. त्यामुळे M₁K = A₁ A₂

त्यामुळे Transverse Tangent ची लांबी = A₁ A₂ = √(d² - (R₂ + R₁)²)

==================================================================