Nine Point Circle

त्रिकोणांतर्गत नऊ बिंदू मधून जाणाऱ्या Nine Point Circle ची रचना वरील आकृतीमध्ये स्पष्ट होते. ह्या नऊ बिन्दुंपैकी बिंदू D,E,F  म्हणजे त्रिकोणाच्या उंचीचे पायालगतचे बिंदू, तसेच बिंदू A',B',C' म्हणजे त्रिकोणाच्या तीन बाजूंचे मध्यबिंदू व X,Y व Z म्हणजे Orthocenter पासून शिरोबिंदूंपर्यंतच्या रेषाखंडांचे मध्यबिंदू आहेत. हे नऊ बिंदू एकाच वर्तुळामधून जातात हे आता सिद्ध करूया.

कोणतेही तीन बिंदू दिले असता त्या बिन्दुन्मधून जाणारे एक वर्तुळ काढता येते हे आपल्याला माहित आहे. समजा  A',B',C' बिन्दुन्मधून जाणारे एक वर्तुळ काढले. या वर्तुळावर D बिंदू आहे हे सिद्द करण्यासाठी □A'B'C'D  हा चक्रीय चौकोन आहे हे सिद्ध करूयात. 

AD हा BC बाजूवर काढलेला लंब आहे. त्यामुळे ∆ADB हा काटकोन त्रिकोण आहे. DC  ही ह्या त्रिकोणाची मध्यमा आहे. त्यामुळे  BC' = DC' = AC'

ह्यावरून आपण म्हणू शकतो कि ∆C'BD हा समद्विभूज त्रिकोण आहे.

त्यामुळे ˂C' BD =  ˂ C ' DB -------------------------------------------१)

□A' B 'C' B  हा समांतर भूज चौकोन आहे (A',B',C'  हे त्रिकोणाच्या बाजूंचे मध्य बिंदू आहेत.)

˂C'B' A' = C' B A' (समांतर भूज चौकोनाचे समोरासमोरील कोन) -----२)

˂C' B' A' = ˂C' D B  (क्रमांक १ व २ नुसार)

वरील ˂C' DB कोन हा  □A'B'C'D  मधील  ˂C' B' A' कोनाचा Remote Exterior Angle आहे. हे दोन कोन समान आहेत. त्यामुळे □A'B'C'D  हा चक्रीय चौकोन आहेत. यावरून असे सिद्ध होते की D हा बिंदू Nine Point Circle  वरील एक बिंदू आहे. त्रिकोणाच्या सममितीनुसार E, F  हे बिंदू ह्या वर्तुळावर आहेत हे सिद्ध करता येईल.

या वर्तुळावर X बिंदू आहे हे सिद्द करण्यासाठी □XFDE  हा चक्रीय चौकोन आहे हे सिद्ध करूयात.

Method of Configuration मध्ये आपण शिकलो होतो कि m˂BAC = m˂FDB=m˂EDC

m˂FDE = 180̊ - m˂FDB - m˂EDC = 180̊  - 2m˂ BAC

□AFHE  हा चक्रीय चौकोन आहे  हे आपण शिकलो आहे आणि AH हा व्यास असून X हा केंद्र बिंदू आहे.

त्यामुळे m˂ FXE = 2 m˂BAC (Inscribed angle of the circle)

m˂FDE+ m˂ FXE = 180̊  - 2m˂ BAC + 2 m˂BAC = 180̊

□XFDE मध्ये ˂FDE व  ˂ FXE या समोरासमोरील कोनांची बेरीज 180̊  आहे. त्यामुळे □XFDE हा चक्रीय चौकोन आहे. यावरून असे सिद्ध होते की X हा बिंदू Nine Point Circle  वरील एक बिंदू आहे. त्रिकोणाच्या सममितीनुसार Y,Z  हे बिंदू ह्या वर्तुळावर आहेत हे सिद्ध करता येईल.

त्रिकोणाचे Orthocentre, Centroid, Circumcentre आणि Nine point circle चे centre हे एकाच रेषेवर आपल्याला मिळतात , ह्या रेषेस Euler Line असे म्हणतात.

=================================================================

 सिद्धता: त्रिकोणाचे Orthocenter, Centroid, Circumcenter आणि Nine point circle चे centre हे एकाच रेषेवर असतात.

सर्वप्रथम त्रिकोणाचे Perpendicular Bisectors आणि Medians काढून Centroid G आणि Circumcentre O मिळवून घ्या. OG  रेषा काढून घ्या. G च्या डाव्या बाजूस P हा बिंदू अशाप्रकारे निवडा कि OG:PG चे गुणोत्तर हे 1:2 असेल. AP रेषा काढून घ्या.

१) AG : GA' = 2:1   (Centroid मध्यमा ला 2:1 गुणोत्तरामध्ये विभाजते.)

२) PG:OG = 2:1 (रचना)

3) m˂OGA' = m˂AGP  (विरुद्ध कोन)

१,२, आणि ३ नुसार बाकोबा कसोटीमुळे ∆AGP आणि ∆A'GO  हे समरूप आहेत.

म्हणून m˂PAG = m˂GA'O

ह्यावरून आपण म्हणू शकतो कि रेषा AP हि रेषा OA' ला समांतर आहेत. ------------A

m˂OA'B = 90 ̊ --------------------------------------------------------------------------------B

क्रमांक A, B  नुसार रेषा AP हि रेषा BC ला Perpendicular (लंब) आहे. त्यामुळे AP हि रेषा त्रिकोणाची Altitude आहे हे सिद्द होते. त्रिकोणाच्या सममितीनुसार रेषा BP व रेषा CP  ह्या पण त्रिकोणाच्या Altitudes आहेत हे सिद्ध करता येते. त्यामुळे P हा त्रिकोणाचा Orthocenter होतो. तसेच त्रिकोणाचे Orthocentre, Centroid, Circumcentre  हे एकाच रेषेवर असतात हे पण सिद्ध होते.

आधीच्या आकृती मधील P या बिंदूला आता आपण H (Orthocenter)  म्हणूया. AH चा मध्यबिंदू X  हा आहे. त्यामुळे AH=2HX.=2AX--------------------1)

आधी आपण सिद्ध केले आहे कि ∆AGH(P) आणि ∆A'GO  हे समरूप आहेत. व HG:GO = 2:1 आहे.

त्यामुळे AH : OA' = 2:1 => AH = 2 OA'   -----------------------2)

क्रमांक १ व २ नुसार  2HX = 2 OA' => HX=OA' तसेच HX व OA' ह्या समांतर रेषा आहेत. त्यामुळे □HXOA' हा समांतरभूज चौकोन आहे. समजा OH आणि A'X  हे Diagonals एकमेकांना N बिंदू मध्ये छेद देतात.

समांतरभूज चौकोनाचे Diagonals एकमेकांना दुभागतात. त्यामुळे A'N = NX.

A' आणि X हे Nine Point Circle वरचे बिंदू आहेत व ते N बिंदुपासून सारख्या अंतरावर आहेत. त्यामुळे N हा Nine Point Circle चा केंद्रबिंदू आहे. यावरून हे सिद्ध होते कि  त्रिकोणाचे Orthocentre, Centroid, Circumcentre आणि Nine point circle चे centre हे एकाच रेषेवर आपल्याला मिळतात   

त्याचप्रमाणे A'X  हा Nine Point Circle चा व्यास आहे हे पण आपल्या लक्षात येईल.

 क्रमांक १ व २ नुसार सिद्ध होते कि AX = OA'  तसेच हे दोन रेषाखंड एकमेकास समांतर आहेत. त्यामुळे □AOA'X  हा समांतरभूज चौकोन आहे. त्यामुळे A'X = OA असे आपण म्हणू शकतो.

परंतु OA हि त्रिकोणाच्या परीवर्तुळाची त्रिज्या R आहे. त्यामुळे Nine Point Circle चा व्यास R असतो  आणि त्रिज्या R/2 असते हे सिद्ध होते.