गणितातील गमती जमती

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

गणित विषयाच्या दुसऱ्या प्रशिक्षणामध्ये आपण संख्यांसोबत आकडेमोड करत काही निष्कर्ष काढले. त्याचा एक आढावा घेऊया.

A) आधी विषम संख्या क्रमवार लिहा.

1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21...

पहिली संख्या १ लिहून नंतरच्या संख्या या आधीच्या संख्यांची आणि क्रमवारीतील निवडलेल्या संख्येची बेरीज याप्रमाणे लिहा.

1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121...

आपल्याला काय मिळाले?

क्रमवारीने आपल्याला वर्ग संख्या मिळाल्या ! ज्या मुलांच्या वर्ग संख्या पाठ होत नसतील अशा मुलांना हि ट्रिक नक्कीच उपयोगी पडेल.

पुढे जाऊन आपण घन संख्या, संख्यांचे चौथे घात,पाचवे घात क्रमवार लिहू शकतो. ते कसे?

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15...

घन संख्या काढायची झाल्यास तिसऱ्या पटीतील संख्या क्रमवारीतून वगळा.

1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22...

पुन्हा आधी सांगितल्याप्रमाणे बेरीज करा.

1,3,7,12,19,27,37,48,61,75,91,108,127,147,169 ...

आता दुसऱ्या पटीतील संख्या वगळा.

1,7,19,37,61,91,127,169 ...

पुन्हा आधी सांगितल्याप्रमाणे बेरीज करा.

1,8,27,64,125,216,343,512...

अशा प्रकारे घात संख्या क्रमवार आपल्याला मिळाल्या.

संख्यांचा चौथा घात क्रमवार लिहायचा झाल्यास आपल्याला आधी चौथ्या पटीतील संख्या वगळाव्या लागतील. नंतर तिसऱ्या, आणि दुसऱ्या पटीतील संख्या वगळत गेलात तर चौथा घात क्रमवार मिळेल.

अशाच प्रकारे आपण संख्यांचा पाचवा आणि सहावा घात क्रमवार लिहू शकतो.

________________________________________________________________________

ब) गणितातील एक खेळ

१-९ या संख्यांमधील दोन संख्या मनात धरा. त्या संख्या उतरत्या क्रमाने जुळवून एक दोन अंकी संख्या तयार करा. त्याचप्रमाणे संख्या चढत्या क्रमाने जुळवून दुसरी एक संख्या तयार करा. मिळालेल्या दोन संख्यांची वजाबाकी करा. जे उत्तर  मिळाले त्यातील अंकांची अदलाबदल करून एक संख्या तयार करा. आधीचे उत्तर आणि मिळालेली संख्या यांची बेरीज करा. किती आली? नक्कीच ९९ आलेली असणार!

अशाप्रकारे कोणत्याही दोन संख्या मनात धरल्यास उत्तर शेवटी ९९ येते.

समजा मी २ आणि ५ मनात धरले. दोन संख्या मिळाल्या ५२ आणि २५. त्यांची वजाबाकी झाली २७. अंकांची अदलाबदल करून संख्या मिळाली ७२. ७२ आणि २७  यांची बेरीज आली ९९!

हे आपण सिद्ध नक्कीच करू शकतो. मुलांना पण हि गोष्ट सिद्ध करायला लावली तर नक्कीच मजा येईल. चला तर मग सिद्ध करूया.

समजा दोन संख्या आहेत x आणि y. त्यापासून दोन संख्या होतील xy  आणि  yx.

आता या दोन संख्यांची वजाबाकी कशी करायची?

एककाच्या घरात वजाबाकी येईल  10+y-x.  आणि दशकाच्या घरात वजाबाकी येईल x-1-y.  हि उत्तरे कशी आलीत? तर साधी वजाबाकी करताना आपण जी पद्धत अवलंबीतो तीच पद्धत येथे वापरली.

आता दोन अंक मिळाले आपल्याला! 10+y-x आणि x-1-y. या दोघांची बेरीज केल्यास उत्तर येते 9!

10+y-x+x-1-y = 9. दोन्ही अंकांची अदलाबदल करून सुद्धा उत्तर येते 9. मग मिळाले कि नाही उत्तर 99!

_________________________________________________________________

C)

१) १ ते ८ यामधील कुठलीही एक अंकी संख्या मनात धरा. त्याला ३ ने गुणा. त्यामध्ये १ मिळवा. मिळालेल्या संख्येला पुन्हा ३ ने गुण. त्यामध्ये ५ मिळवा. जे उत्तर येईल त्यामध्ये दशकाच्या संख्येत येईल तुम्ही मनात धरलेली संख्या!

२) कुठलीही एक संख्या मनात धरा. त्याला ५ ने गुणा.त्यामध्ये १ मिळावा. मिळालेल्या संख्येला दोन ने गुणा.  जे उत्तर येईल त्यामध्ये एकाकाच्या संख्येत येईल २ आणि दशकाच्या संख्येत येईल तुम्ही मनात धरलेली संख्या!

३) कुठलीही एक संख्या मनात धरा. त्याला २ ने गुणा.त्यामध्ये १ मिळावा. मिळालेल्या संख्येला ५ ने गुणा.  जे उत्तर येईल त्यामध्ये एकाकाच्या संख्येत येईल ५ आणि दशकाच्या संख्येत येईल तुम्ही मनात धरलेली संख्या!

______________________________________________________________

D)

७ ची कसोटी.

कुठल्याही संख्येच्या एकक स्थानच्या संख्येला २ ने गुणा. येणारी संख्या आणि मूळ संख्येच्या एकक स्थान सोडून तयार झालेली संख्या यांची वजाबाकी करा. या वजाबाकीस ७ ने भाग जात असल्यास मूळ संख्येस ७ ने भाग जातो

उदाहरणार्थ, ३४३ मधील एकक स्थानातील ३ ला २ ने गुणले. उत्तर आले ६. या ६ ला ३४ मधून वजा केले उत्तर आले २८. २८ ला ७ ने भाग जातो म्हणून ३४३ ला ७ ने भाग जातो. हवे तर पडताळून बघा!

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

E)

कुठलीही संख्या घ्या. त्या संख्यांचे FACTORS लिहून काढा. मिळालेल्या संख्यांच्या अंकांची बेरीज करा. अजून एक संख्या मिळेल. या संख्येचे पुन्हा FACTORS लिहून काढा. मिळालेल्या संख्यांच्या अंकांची पुन्हा बेरीज करा. अजून एक संख्या मिळेल. असे करत गेल्यास शेवटी आपल्याला संख्या मिळेल १५. आणि १५ चे FACTORS लिहून त्यातील अंकांची बेरीज केली तर उत्तर पुन्हा १५ येतेच.

उदाहरणार्थ, संख्या घेतली १२.

१२- १,१२,२,६,३,४ (Factors)

पुढील संख्या मिळेल १+१+२+२+६+३+४ = १९.

१९- १,१९ वर दिलेली क्रिया पुन्हा पुन्हा करत राहावी.

११- १,११

३- १,३

४- १,४,२

७- १,७

८-१,८,२,४

१५- १,१५,३,५

शेवटी बेरीज येते १५!

______________________________________________________________

F)

कुठल्याही संख्येंचा वर्ग करताना (a+b)² = a²+2ab+b² या सूत्राचा वापर करता येईल. एक संख्या घेतली १२.

या संख्येचा वर्ग काढायचा एकक स्थानातील अंकाचा वर्ग करा. उत्तर आले ४. एकक आणि दशक स्थानातील अंकांचा गुणाकार करून त्याला २ ने गुण. उत्तर आले ४. दशक स्थानातील अंकाचा वर्ग करा. उत्तर आले १. आता १२ चा संपूर्ण वर्ग झाला १४४!

पुन्हा एक उदाहरण घेऊ.

संख्या ४५- ५ चा वर्ग २५. वर्गामधील एकक स्थानी येईल ५. हाताचे आले २. पुढील अंक मिळविण्यासाठी आपण करूयात २*४*५. उत्तर आले ४०. या गुणाकारात हातचे मिळावा २. उत्तर आले ४२. दशक स्थानात अंक आला २. आणि हातचे आले ४. मुळ संखेतील दशक स्थानातील ४ चा वर्ग आला १६. त्यामध्ये हातचे ४ मिसळलयास उत्तर आले २०. म्हणून उत्तर आले २०२५.

अशाचप्रकारे आपण १-९९ या संख्यांमधील कोणत्याही संख्येचा वर्ग काढू शकतो.

______________________________________________________________________