भूमितीय सिद्धता

                        

सिद्धता सोप्या करण्यासाठी खालील बाबी लक्षात घेण्या जोग्या आहेत.

१) त्रिकोणाशी संबंधित सिध्दता  सोप्या करण्यासाठी त्रिकोणाच्या समरुपतेवर जास्तीत जास्त भर द्यावा. त्रिकोणाच्या समान बाजूच्या आणि समान कोनाच्या जोड्या मुलांना जुळविता याव्यात.

२) त्रिकोण फिरवून सुद्धा कोनाच्या जोड्या जुळविता यायला हव्यात. संगत बाजू लिहिता यायला हव्यात.  यामुळे अनेक सिद्धता सोप्या होतात.

४) त्रिकोणाच्या वेगवेगळ्या आकृत्या काढून समरुपतेच्या जोड्या लिहून घ्याव्यात.

५) आठवड्याभरात एक concept  मुलांकडून पक्का करून घ्यावा. त्याच्याशी संबधित गुणधर्म - सूत्र पक्के करवून ह्यावेत.

६) सिद्धता या दोन प्रकारच्या असतात. प्रायोगिक आणि तार्किक. प्रत्यक्ष प्रयोगातून सिद्ध केलेली प्रायोगिक सिद्धता आणि तर्क आणि अनुमानातून काढलेल्या सिद्धतेला तार्किक सिद्धता म्हणतात. तार्किक सिद्ध्तेमध्ये प्रत्यक्ष आणि अप्रत्यक्ष असे प्रकार पडतात. जर-तर  ची विधाने लिहित गेल्यास सिद्धता सोपी होते. जर समोर दिलेली माहिती बरोबर असेल तर समोर दिलेला निष्कर्ष काढता येतो.

७)  मुलांचा आकृत्या काढून घ्यायचा देखील सराव करावा. यामुळे योग्य आकृती काढल्यास त्याचे Analysis योग्य तऱ्हेने केल्या जाऊ शकते.

८)  आकृत्यांचा एक Pattern  लक्षात घेऊन त्यावर आधारित वेगवेगळी उदाहरणे सोडवून घ्यावीत. जसे कि वर्तुळाच्या स्पर्शिकेवर आधारित उदाहरणे बगळ्याची चोच म्हणून सोडवून घेता येतील.

९) फक्त भूमितीय सिद्धता मुलांना न शिकविता बिजगणितातील सिद्धता सुद्धा शिकवाव्यात.

१०) कोणीतीही सिद्धता फळ्यावर लिहून ने देता फक्त विचार करण्याची दिशा मुलांना सांगण्यात यावी.

११) कोणत्याही आकृतीशी संबंधित गुणधर्म मुलांकडून लिहून घ्यावेत.

१२) सिद्धता करत असताना पृथ्थकरण (Analysis) आणि संयोजन (Composition) पद्धतीचा वापर करावा.

त्याचे एक उदाहरण आपण बघूया.

∆ABC  हा समद्विभूज काटकोन त्रिकोण आहे. AD हि BC ची कोन दुभाजक आहे. आता आपल्याला सिद्द करायचे आहे की AB+BD = AC

ह्याचे Analysis  कसे करता येईल? सर्वप्रथम आपण जर BD=BE  अशी रेषा काढली तर AB + BE = AC असे आपल्याला सिद्ध करावे लागेल. पण AB+BE = AE हे आकृती पाहून आपण लिहू शकतो. त्यामुळे AE = AC  असे आपण सिद्ध केले तर आपली सिद्धता पूर्ण होईल. हे कसे करावे?

आता  ∆ADE आणि ∆ADC हे एकरूप आहेत असे सिद्ध केल्यास  AE = AC   हे सिद्ध होईल.

१) यामध्ये AD रेषा समान आहे.

२) ˂BAD = ˂DAC  (AD हि कोन दुभाजक आहे)

३) ˂E = ˂C = 45® (समद्विभूज काटकोन त्रिकोणाचे कोन)

ह्यामुळे बाकोको कसोटीनुसार  ∆ADE आणि ∆ADC हे एकरूप होतात. त्यामुळे AE=AC हे सिद्ध होते त्यामुळेच AB+BD = AC हे सिद्ध होते.

अशाप्रकारे आपण या सिद्धतेचे Analysis  म्हणजेच पृथ्थकरण केले. सिद्धता लिहिताना मात्र खालून वर याप्रकारे संयोजन (Composition) करून आपण मांडू शकतो.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

आता शेवटी आपण काही मुलभूत सिद्धता बघुयात.

1)

पायथागोरस चा प्रमेय वापरून हेरॉन चे सूत्र सिद्ध करता येते.

c²  = h² + x²

h² = c² - x²

b² = h² + (a-x) ²

h² = b² - (a-x)²

c² - x² = b² - (a-x)²

c² -x² = b² - [a² -2ax +x²]

c² - x² = b² - a² + 2ax -x²

(c²+a²-b² )/2a =  x

Area of ∆ABC = 1/2 * a * h

= [1/4 * a² *h²] ^1/2

=[1/4 * a² (c² - x²)]^1/2

=[1/4 *a² (c²-[(c²+a²-b²)/2a]²]^1/2

=[1/4 *a2 [4a²c² - (c²+a²-b²)²]]^1/2

=[1/16*[4*a²*c² - (c²+a²-b²)²]^1/2

=[1/16 * [2ac+c²+a²-b²]*[2ac-c²-a²+b²]]^1/2

=[1/16* [(a+c)² -b²]*[b² -(a-c)²]]^1/2

=[1/16 (a+b+c) *(b+a-c)*(a+c-b)*(b+c-a)]^1/2

आता काही गोष्टी खालीलप्रमाणे आपण लिहू शकतो

a+b+c = 2s

a+b+c-2c = 2s-2c

a+b-c = 2(s-c)

a-b+c = 2(s-b)

b+c-a = 2(s-a)

म्हणून

Area of ∆ABC = [1/16 *2s*2*(s-a)*2*(s-b)*2*(s-c) ]^1/2

Area of ∆ABC = [s*(s-a)(s-b)(s-c)]^1/2

2) शंकू  छेदाचा घन  काढणे

समजा h = h2 - h1 ,

मोठा आणि लहान शन्कुंच्या घनफळामधला फरक हा शन्कुछेदाचा  घनफळ असतो.

मोठ्या शंकुचे घनफळ - लहान शंकूचे घनफळ

=1/3 ∏ R²h2 - 1/3∏r²h1

= 1/3 ∏ R²[h+h1]  -  1/3∏r²h1

= 1/3 ∏ [R²h + R²h1-r²h1] --------------------------------------(1)

कोको नियमानुसार

r/R = h1/h2

r/R = h1/ h+h1

rh + rh1 = Rh1

rh = (R-r) h1

h1 = rh/(R-r)

(1) मध्ये h1 ची किमंत घालून

1/3 ∏ [R² h +[(R²-r²)* rh /(R-r)]]

=1/3 ∏ [R² h +[(R-r)(R+r)*rh/(R-r)]]

=1/3 ∏ [R²h + rh (R+r)]

=1/3∏[R²h+rRh+r²h]

शन्कुछेदाचा  घनफळ  = 1/3 ∏ [R²+r²+rR]

3)

आता ∆ABC चे क्षेत्रफळ हे  abc/4R  असते हे सिद्ध करूयात. (R  ही परीवर्तुळाची त्रिज्या आहे)

हे सिद्धता त्रिकोणमिती च्या सहाय्याने सिद्ध करता येते. A बिंदूपासून निघणारा वर्तुळाचा व्यास काढा. तो समजा E बिंदूमध्ये छेदतो. रेषाखंड EC जोडा. <ACE हा काटकोन होतो कारण तो वर्तुलावरील बिंदूचा व्यासासोबत केलेला कोन आहे.

h/c = Sin B

h = c SinB

Area of  ∆ABC = ½ * a * h

                             =½ * a* c * SinB

आता <ABC = <AEC (वर्तुळाच्या जीवेने वर्तुळावरील बिन्दुंशी केलेले कोन)

Sin B = h/c = SinE = b/2R (AE वर्तुळाचा व्यास आहे)

 Area of  ∆ABC = ½ * a* c * SinB

             = ½ * a * c * b /2R

Area of  ∆ABC   = (abc)/4R